Planos y Mapas a Escala

Geometría • Forma, Movimiento y Localización

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Marco Teórico • Fundamento

¿Qué es una Escala?

La escala es la razón matemática constante entre las dimensiones del dibujo y las dimensiones reales en el terreno.

Permite representar objetos enormes (ciudades, casas) en una hoja de papel sin deformarlos.

Fórmula Fundamental de la Escala

$$E = \frac{d}{D}$$

E

Escala $\left(E = \frac{1}{N}\right)$

d

Medida en mapa (cm)

D

Medida real (terreno)

⚠️

¡REGLA DE ORO! Ambas medidas deben estar en la misma unidad (centímetros) antes de operar.

Conversión de Unidades

Equivalencias Indispensables

Metro a Centímetros

$$1\text{ m} = 100\text{ cm}$$

Kilómetro a Metros

$$1\text{ km} = 1\,000\text{ m}$$

Factor Multiplicador Directo

$$1\text{ km} = 100\,000\text{ cm}$$

Para pasar de km a cm multiplicamos por $100\,000$. Para pasar de cm a km dividimos entre $100\,000$.

Tipos de Representación

Numérica vs. Gráfica

📊

1. Escala Numérica

Expresión matemática como fracción o razón.

$$E = \frac{1}{3\,000\,000}$$

1 cm en el plano = 3 000 000 cm reales

$1\text{ cm}$ en el mapa equivale exactamente a $30\text{ km}$ en la realidad.

2. Escala Gráfica

Barra graduada para lectura directa con regla.

Escala del texto: Cada segmento (1 cm) = 10 metros reales

Se mide directamente con una regla escolar sobre el plano.

💡 En la escala gráfica: $1\text{ cm} \longleftrightarrow 10\text{ m} = 1\,000\text{ cm} \implies E = \frac{1}{1\,000}$.

📌 Problema 1 • Situación Real

Libro de Actividades pág. 229

Revisa el cuadro comparativo que elaboraste en el Libro del Área. Luego, lee la siguiente situación:

El Ministerio de Trabajo promueve distintas políticas y estrategias que buscan generar empleo estable, la formalización laboral, la protección a las personas que no cuentan con un empleo, entre otros. Luis tiene una empresa que da trabajo a muchos jóvenes. Cierto día, debe ir al ministerio a dejar unos documentos. Para esto, observa en un mapa que la distancia entre su casa y dicho lugar es de $d = 6{,}5\text{ cm}$. Si el plano tiene una escala de $E = \frac{1}{400\,000}$, indica cuántos kilómetros debe recorrer Luis en realidad.

Luis y el mapa al Ministerio

Problema 1 • Parte 1

Datos y Planteamiento

Paso 1

$d = 6{,}5\text{ cm}$

Distancia en mapa

$E = \frac{1}{400\,000}$

Escala del plano

$D = ?\text{ (km)}$

Distancia real (km)

Paso 1 • Aplicar la fórmula universal: $E = \frac{d}{D}$

$$\begin{aligned} \frac{1}{400\,000} &= \frac{6{,}5}{D} \\[8pt] D &= 6{,}5 \times 400\,000\text{ cm} \end{aligned}$$

Problema 1 • Parte 2

Resolución y Respuesta Oficial

Pasos 2 y 3

Datos: $d = 6{,}5\text{ cm}$ | $E = \frac{1}{400\,000}$ Operación: $D = 6{,}5 \times 400\,000\text{ cm}$

Paso 2 • Cálculo aritmético en centímetros

$$D = 6{,}5 \times 400\,000\text{ cm} = 2\,600\,000\text{ cm}$$

Paso 3 • Conversión a kilómetros ($1\text{ km} = 100\,000\text{ cm}$)

$$D = \frac{2\,600\,000}{100\,000}\text{ km} = 26\text{ km}$$

Respuesta Oficial

Luis debe recorrer $D = 26\text{ km}$ en la realidad.

📌 Problema 2 • Situación Real

Libro de Actividades pág. 229

Gustavo vive en Lima y consiguió empleo en una ciudad del norte de nuestro país, a $D = 180\text{ km}$. Él consulta un mapa y observa que la distancia entre Lima y esta ciudad es de $d = 45\text{ cm}$.

Interpreta los datos y calcula la escala del mapa.

Viaje interprovincial al norte (180 km)

Problema 2 • Parte 1

Datos y Homogeneización

Paso 1

$D = 180\text{ km}$

Distancia real

$d = 45\text{ cm}$

Distancia mapa

$E = ?$

Escala buscada

Paso 1 • Homogeneizar unidades ($180\text{ km}$ a $\text{cm}$)

$$D = 180 \times 100\,000\text{ cm} = 18\,000\,000\text{ cm}$$

¡Ambas medidas están ahora en la misma unidad ($\text{cm}$) para poder operar!

Problema 2 • Parte 2

Simplificación y Respuesta

Paso 2

Valores: $d = 45\text{ cm}$ | $D = 18\,000\,000\text{ cm}$ Fórmula: $E = \frac{d}{D}$

Paso 2 • Reemplazar en la fórmula $E = \frac{d}{D}$ y simplificar entre 45

$$\begin{aligned} E &= \frac{d}{D} = \frac{45}{18\,000\,000} \\[8pt] E &= \frac{45 \div 45}{18\,000\,000 \div 45} = \frac{1}{400\,000} \end{aligned}$$

Respuesta Oficial

La escala del mapa es $E = \frac{1}{400\,000}$.

(Cada $1\text{ cm}$ en el mapa equivale a $400\,000\text{ cm} = 4\text{ km}$ en la realidad)

📌 Problema 3 • Situación Real

Libro de Actividades pág. 229

La escala de un mapa es $E = \frac{1}{250\,000}$.

Si dos instituciones educativas se encuentran separadas $d = 7\text{ cm}$ en un mapa:

Indica cuántos kilómetros están separadas en la realidad.

Distancia entre dos instituciones educativas

Problema 3 • Parte 1

Datos y Planteamiento

Paso 1

$E = \frac{1}{250\,000}$

Escala ($N = 250\,000$)

$d = 7\text{ cm}$

Distancia mapa

$D = ?\text{ (km)}$

Distancia real

Paso 1 • Fórmula de Distancia Real: $D = d \times N$

$$D = 7 \times 250\,000\text{ cm} = 1\,750\,000\text{ cm}$$

Problema 3 • Parte 2

Conversión y Respuesta

Paso 2

Problema 3: $d = 7\text{ cm}$ | $E = \frac{1}{250\,000}$ $D = 1\,750\,000\text{ cm}$

Paso 2 • Conversión a kilómetros: $D = \frac{D_{\text{cm}}}{100\,000}$

$$D = \frac{1\,750\,000}{100\,000}\text{ km} = 17{,}5\text{ km}$$

Respuesta Oficial

Las instituciones están separadas por $D = 17{,}5\text{ km}$ en la realidad.

📌 Problema 4 • Situación Real

Libro de Actividades pág. 230

En un colegio, el profesor de Educación Física está evaluando a sus estudiantes con una prueba de $200\text{ m}$ planos (en línea recta) y utiliza la siguiente escala gráfica:

Escala del problema: Cada 1 cm representa 5 metros reales

Si dos de sus estudiantes están separados en el plano $d = 12{,}4\text{ cm}$; determina cuántos metros están separados en la realidad.

Problema 4 • Parte 1

Interpretación de la Escala

Paso 1

$1\text{ cm} \longleftrightarrow 5\text{ m}$

Equivalencia ($k = 5$)

$d = 12{,}4\text{ cm}$

Medida en el plano

$D = ?\text{ (m)}$

Distancia real (m)

Paso 1 • Proporcionalidad Directa: $D = d \times k$

$$D = 12{,}4 \times 5 = 62\text{ m}$$

Problema 4 • Parte 2

Cálculo y Respuesta

Paso 2

Equivalencia: $1\text{ cm} = 5\text{ m}$ | Medida: $12{,}4\text{ cm}$ Operación: $12{,}4 \times 5$

Paso 2 • Cálculo aritmético directo

$$D = 12{,}4 \times 5 = 62\text{ metros}$$

Respuesta Oficial

Los estudiantes están separados por $D = 62\text{ m}$ en la realidad.

📌 Problema 5 • Situación Real

Libro de Actividades pág. 230

Marta es turista y se encuentra a $D = 40\text{ km}$ de la Plaza de Armas de Lima.

Si la escala del mapa es $E = \frac{1}{800\,000}$:

1. Elabora la escala gráfica respectiva.

2. Determina qué distancia separa, en el mapa, a Marta y la plaza.

Marta turista hacia la Plaza de Armas

Problema 5 • Parte 1

Diseño de la Escala Gráfica

Paso 1

$D = 40\text{ km}$

Distancia real Marta

$E = \frac{1}{800\,000}$

Escala ($N = 800\,000$)

Paso 1 • Equivalencia gráfica: $k = \frac{N}{100\,000}$

$$k = \frac{800\,000}{100\,000} = 8\text{ km/cm} \quad \implies \quad 1\text{ cm} = 8\text{ km}$$

0816243240 km

1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm

Problema 5 • Parte 2

Distancia en el Mapa

Paso 2

Problema 5: $D = 40\text{ km}$ | $k = 8\text{ km/cm}$ Fórmula: $d = \frac{D}{k}$

Paso 2 • Calcular la distancia en el mapa ($d$)

$$d = \frac{40}{8} = 5\text{ cm}$$

Respuesta Oficial Consolidada

• Escala Gráfica: cada $1\text{ cm} \longleftrightarrow 8\text{ km}$.
• Distancia en el mapa: $d = 5\text{ cm}$.

📌 Problema 6 • Situación Real

Libro de Actividades pág. 230

La imagen muestra las medidas del largo, ancho y altura de una refrigeradora que se dibujó a la escala $E = \frac{1}{50}$. Utiliza dicha escala e indica sus dimensiones reales.

Ancho en dibujo $1{,}6\text{ cm}$

Profundidad en dibujo $1{,}2\text{ cm}$

Altura en dibujo $3{,}8\text{ cm}$

Cotas del dibujo a escala 1:50

Problema 6 • Parte 1

Dimensiones Reales en cm

Paso 1

Fórmula de Factor Escala $\left(E = \frac{1}{50} \implies N = 50\right)$

$$D = d \times 50$$

a: Ancho

p: Profundidad

h: Altura

Cálculo de cada cota en centímetros:

$$\begin{aligned} a &= 1{,}6 \times 50 = 80\text{ cm} \\[3pt] p &= 1{,}2 \times 50 = 60\text{ cm} \\[3pt] h &= 3{,}8 \times 50 = 190\text{ cm} \end{aligned}$$

Problema 6 • Parte 2

Dimensiones en Metros

Paso 2

Medidas: $a = 80\text{ cm}$ | $p = 60\text{ cm}$ | $h = 190\text{ cm}$ Fórmula: $D_{\text{m}} = \frac{D_{\text{cm}}}{100}$

Expresando en metros:

$$\begin{aligned} a &= \frac{80}{100} = 0{,}80\text{ m} \\[3pt] p &= \frac{60}{100} = 0{,}60\text{ m} \\[3pt] h &= \frac{190}{100} = 1{,}90\text{ m} \end{aligned}$$

Respuesta Oficial

Dimensiones reales: $0{,}8\text{ m}$ de ancho, $0{,}6\text{ m}$ de profundidad y $1{,}9\text{ m}$ de altura.

📌 Problema 7 • Situación Real

Libro de Actividades pág. 230

El siguiente plano corresponde a la primera planta de una casa que se dibujó a una escala de $E = \frac{1}{300}$:

I. Expresa sus dimensiones reales.

II. Calcula el área real que ocupa la casa.

Plano de la primera planta (10,5 cm x 5,2 cm)

Plano arquitectónico de la casa (Escala 1:300)

Problema 7 • Pregunta I

Dimensiones Reales de la Casa

Paso 1

Equivalencia $\left(E = \frac{1}{300} \implies 1\text{ cm} = 300\text{ cm} = 3\text{ m}\right)$

$$D = d \times 3$$

L: Largo real

A: Ancho real

Cálculo de dimensiones en metros:

$$\begin{aligned} L &= 10{,}5 \times 3 = 31{,}5\text{ m} \\[3pt] A &= 5{,}2 \times 3 = 15{,}6\text{ m} \end{aligned}$$

Dimensiones reales: 31,5 m de largo y 15,6 m de ancho.

Problema 7 • Pregunta II

Área Real de la Vivienda

Paso 2

Medidas: $L = 31{,}5\text{ m}$ | $A = 15{,}6\text{ m}$ $$S = L \times A$$

Cálculo de la superficie ($S$):

$$S = 31{,}5 \times 15{,}6 = 491{,}4\text{ m}^2$$

Respuesta Oficial

El área real que ocupa la casa es de $S = 491{,}4\text{ m}^2$.

Resumen Maestro

Las 3 Fórmulas Fundamentales

Síntesis

Hallar Escala (E)

$$E = \frac{d}{D}$$

Mismas unidades ($\text{cm}$) y simplificar a fracción $\frac{1}{N}$.

Distancia Real (D)

$$D = d \times N$$

Multiplicar por $N$ y convertir a $\text{km}$ o $\text{m}$.

Distancia en Mapa (d)

$$d = \frac{D}{N}$$

Llevar $D$ a $\text{cm}$ y dividir entre $N$.

E: Escala $\left(E = \frac{1}{N}\right)$

d: Medida mapa

D: Medida real

S: Área real

Cierre de Clase

Respuestas de los 7 Problemas

Solucionario Oficial

Prob 1: Min. Trabajo $D = 26\text{ km}$

Prob 2: Gustavo $E = \frac{1}{400\,000}$

Prob 3: Colegios $D = 17{,}5\text{ km}$

Prob 4: 200m planos $D = 62\text{ m}$

Prob 5: Turista $1\text{ cm} = 8\text{ km} \mid d = 5\text{ cm}$

Prob 6: Refrigeradora $0{,}8 \times 0{,}6 \times 1{,}9\text{ m}$

Prob 7: Vivienda $31{,}5\text{ m} \times 15{,}6\text{ m} \implies S = 491{,}4\text{ m}^2$

¡Gran sesión de trabajo matemático! 🎉